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解析力学力矩和力偶矩的正负
一、力矩的正负
对于初次接触力矩概念的学生,判断力矩正负有一定的认知挑战性(对于教师或已掌握的自是“会者不难”),这需要通过形象的例子缩小认知梯度。
力矩的正负需要从物体的定轴转动谈起。
物体定轴转动可以用圆盘在其平面内转动表示。为了表示圆盘的运动状态,除了要知道转动快慢之外,我们还需要知道转动的转向。显然转向只有两个状态,一个是逆指针(图1a),另一个是顺时针(图1b)。
图1
对只有两个状态的物理量,自然可以用正号和负号来区分。通常选择逆时针为正,顺时针为负(这种选法与空间情形的右手螺旋法则一致)。按此选法,一个带正负号的量就既能表示定轴转动的快慢,也能表示圆盘转向了。
如果圆盘转向为逆时针(正号),某个力有使转动加速的效果,那么这个力对转轴之矩就是正的。反之,如果该力使逆时针转动的圆盘减速,则此力对转轴之矩就是负的。
力可以通过使物体获得加速度来体会,但是为了使研究结果有一般性,我们往往尽可能只讨论力(暂时把物体放到一边去)。对力矩也是这样,即使没有物体,我们也能讨论力矩。
物体既然没有了,转动轴当然也就不存在。此时,为了表征力的转动效果,我们是计算力对矩心之矩—可以把这个矩心形象地想象为定轴转动的轴。
想象在矩心处有一垂直于纸面的轴(见图2),伸出右手,让大拇指沿轴方向,四指卷曲去抓住这根轴。如果力的作用顺着上述四指从指根到指尖,则该力对矩心的矩为正,比如图中的F1。
图2
若想象纸面上有个闹钟,则上述四指从指根到指尖卷曲的转向与钟的逆时针转向一致,这就是逆时针转向的矩为正的原因。反之,如果力对矩心的作用与四指从指根到指尖卷曲转向相反,如图中的F2,则该力对矩心的矩为负,对应的转向为顺时针转向。
如果还是没感觉,那么从力矢的尾端向始端画个弧,矩心要被这个弧和力矢包含在内。如果从力尾端到力始端的弧是逆时针的,则该力对矩心的矩是正的,否则为负。见图3。
图3
二、力偶矩的正负
力偶可以理解为两个力来配对,配对条件是它们大小相等,方向相反。力偶矩的正负号当然要与力矩的一致,即“顺时针为负,逆时针为正”规则,也可用图2来示意。若无示意图时,当然就使用这个规则,如M=40 N·m表示逆时针转向的力矩,大小为40 N·m,而M=-30 N·m表示顺时针转向的力矩,大小为30 N·m。
力学分析喜欢使用受力图。一旦有受力图,总是把图形示意的转向为参考转向,比如图4中四个带箭头的弧标明了参考转向,弧箭头旁边的符号M1,M2,M3,M4表示力矩的数值,它要另行补充,比如 M1=10 N·m , M2=-20 N·m, M=30 N·m, M=-40 N·m。
图4
M1=10 N·m的数值与图示的弧箭头转向一起表示这是大小为10 N·m的逆时针转向力偶。也不能因M2=-20 N·m中有负号而认为它是顺时针转向,而是因为有了图形,M2数值和图示转向一起表明是大小为20N·m顺时针转向作用的力偶。M=30 N·m也不表示它是逆时针,参考图示转向,它是大小为30 N·m的顺时针转向作用的力偶。类似地,M=-40 N·m与图示参考转向一起,表示大小为40 N·m的逆时针转向作用的力偶。
三、写平衡方程
在写矩平衡方程时,我们会选择一个参考正转向(如无明确声明,则默认逆时针为参考正转向)。参考受力图,如果力对矩心的转动作用与参考正转向一致则在方程中为正号,反之,当力对矩心的转动作用与参考正转向相反,该力的矩在平衡方程中取负号。
对不同的矩心,力矩的正负号可能会变。
力偶处理与上述力矩类似,但是正负号(和大小都)不因矩心而变。
参考文献
来源:图形公式不烦恼公众号(ID:ArtByMathematica),作者:陈奎孚。 .理论力学精细辅导.北京:清华大学出版社.2018.9
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